Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c，（a，c∈N^*）满足①f（1）=5；②6＜f（2）＜11．
（1）求函数f（x）的解析表达式；
（2）若对任意x∈[1，2]，都有f（x）-2mx≥1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（1）=5可得c=3-a．①，由6＜f（2）＜11，得6＜4a+c+4＜11，②联立①②可求得a，c，进而可得函数f（x）的解析表达式；
（2）法一：设g（x）=f（x）-2mx-1=x²-2（m-1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：当m-1≤1即m≤2时，g_min（x）=g（1）=4-2m≥0，解得m的取值范围．
（2）法二：不等式f（x）-2mx≥1恒成立等价于2m-2≤x+

1

x

在[1，2]上恒成立．只需求出（x+

1

x

）_min．

解答： 解：（1）∵f（1）=5
∴5=a+c+2，即c=3-a，
又∵6＜f（2）＜11
∴6＜4a+c+4＜11，
∴∴-

1

3

＜a＜

4

3

，
又∵a∈N^*，
∴a=1，c=2．
所以f（x）=x²+2x+2．
（2）法一：设g（x）=f（x）-2mx-1=x²-2（m-1）x+1，x∈[1，2]，则由已知得：
当m-1≤1即m≤2时，g_min（x）=g（1）=4-2m≥0，此时m≤2；
当1＜m-1＜2即2＜m＜3时，△≤0，解得：无解；
当m-1≥2即m≥3时，g_min（x）=g（2）=9-4m≥0，此时无解．
综上所述，m的取值范围为（-∞，2]．
法二：由已知得，2(m-1)≤x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立．
由于x+

1

x

在[1，2]上单调递增，
所以x+

1

x

∈[2，

5

2

]，
故2（m-1）≤2，
即m≤2．

点评：本题考查二次函数的性质、二次不等式恒成立，考查转化思想，属中档题．