Question

若函数f（x）满足：2f（x）+f（

1

x

）=3x，则f（x）+f（

1

x

）的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以先求出函数f（x）的解析式，再求出函数f（x）+f（

1

x

）的解析式，从而求出f（x）+f（

1

x

）的值域，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）满足：2f（x）+f（

1

x

）=3x，
∴2f（

1

x

）+f（x）=

3

x

，
∴f(x)=2x-

1

x

，
f(

1

x

)=

2

x

-x，（x≠0），
∴f(x)+f(

1

x

)=x+

1

x

，（x≠0），
∵当x＞0时，x+

1

x

≥2，
当x＜0时，（-x）+

1

(-x)

≥2，x+

1

x

≤-2，
∴f（x）+f（

1

x

）的值域为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题考查了函数的解析式和值域，本题难度不大，属于基础题．