Question

如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a₁，a₂，a₃，…，若a_n=2005，则n=

 

．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：排列组合

分析：利用“吉祥数”的定义，分类求出“吉祥数”，即可得到结论．

解答： 解：∵方程x₁+x₂+…+x_i=m使x₁≥1，x_i≥0（i≥2）的整数解个数为

C

k-1 m+k-2

．现取m=7，可知，k位“吉祥数”的个数为P(k)=

C

k-1 5+k

=

C

6 k+5

且P（1）=

C

6 6

=1，P（2）=

C

6 7

=7，
P（3）=

C

6 8

=28对于四位“吉祥数”

.

1abc

，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数，即

C

2 8

=28个．
∵2005是形如

.

2abc

的数中最小的一个“吉祥数”，
∴2005是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，
即a_n=2005，
从而n=65．
故答案为：65

点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，注意分类讨论，属于中档题．