题目内容
19．若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=aex（a＞0）至少存在两个交点，则a的取值范围为（ ）| A． | [$\frac{8}{{e}^{2}}$，+∞） | B． | （0，$\frac{8}{{e}^{2}}$] | C． | [$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞） | D． | （0，$\frac{4}{{e}^{2}}$] |
分析 x＜0时，两条曲线由一个交点，当x＞0时，如果恒有aex＞x2，两条曲线没有公共点，通过分离参数，求最值，即可求a的取值范围．然后求解补集即可．
解答 解：曲线C1：y=x2与曲线C2：y=aex（a＞0），x＜0时，两条曲线由一个交点，
当x＞0时，如果恒有aex＞x2，两条曲线没有公共点，
由aex＞x2⇒a＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$=x2e-x，∴3a＞x2e-x+2a，?x∈（0，+∞）
令f（x）=x2e-x+2a，知f（x）的定义域为R，f′（x）=e-x（2x-x2），令f′（x）=0⇒x=0或2，
列表如下：
| x | （-∞，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，+∞） |
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | 减 | 极小值 | 增 | 极大值 | 减 |
可知：当x∈（0，+∞）时，x=2时，f（x）max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$+2a，
所以3a＞$\frac{4}{{e}^{2}}$+2a⇒a＞$\frac{4}{{e}^{2}}$．
曲线C1：y=x2与曲线C2：y=aex（a＞0）至少存在两个交点，则a的取值范围为：（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]
故选：D．
点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，正确运用分离参数求最值是关键．
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