Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+1，x≤1\\ 1-{log_2}x，x＞1\end{array}\right.$，则满足不等式f（1-m²）＞f（2m-2）的m的取值范围是（　　）

• A． （-3，1）
• B． $（\frac{3}{2}，+∞）$
• C． （-3，1）∪$（\frac{3}{2}，+∞）$
• D． $（-3，\frac{3}{2}）$

Answer 1

分析 当x≤1时，f（x）=2^x+1为增函数，则f（x）＞1，当x＞1时，f（x）=1-log₂x为减函数，则f（x）＜1，满足不等式f（1-m²）＞f（2m-2），化为关于m的不等式组，解得即可．

解答 解：当x≤1时，f（x）=2^x+1为增函数，则f（x）≥1，
当x＞1时，f（x）=1-log₂x为减函数，则f（x）＜1，
∵f（1-m²）＞f（2m-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}≤1}\\{2m-2≤1}\\{1-{m}^{2}＞2m-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}＞1}\\{2m-2＞1}\\{1-{m}^{2}＜2m-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}≤1}\\{2m-2＞1}\\{1-{m}^{2}＞2m-2}\end{array}\right.$，
解得-3＜m＜1或x＞$\frac{3}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了分段函数和不等式组的解集，属于中档题．