Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面BB₁C₁C 为菱形，B₁C与BC₁交于点O，AO⊥平面BB₁C₁C
（1）求证：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C；
（2）若AC⊥AB₁，∠BCC₁=120°，BC=1，求点B₁到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明B₁C⊥BC₁，AO⊥B₁C利用直线与平面垂直的判定定理证明B₁C⊥平面ABC₁，然后证明平面A₁B₁C⊥平面ABC₁．
（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD作OH⊥AD，垂足为H，证明BC⊥平面AOD，得到OH⊥BC，证明OH⊥平面ABC，说明△CBB₁为等边三角形，然后求解点B₁到平面ABC的距离．

解答 （本题满分12分）
（1）证明：因为O为B₁C交BC₁的交点，又因为侧面BB₁C₁C为菱形，所以B₁C⊥BC₁
…（2分）
又AO⊥平面BB₁C₁C，所以AO⊥B₁C，
即B₁C⊥AO，故B₁C⊥平面ABC₁且AO∩BC₁=0，
由于B₁C?平面A₁B₁C，故平面A₁B₁C⊥平面ABC₁…（5分）
（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，
作OH⊥AD，垂足为H，由于BC⊥AD，BC⊥OD，
故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC…（7分）
又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC，
因为∠CBB₁=60°，所以△CBB₁为等边三角形，
又BC=1，可得$OD=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
由于OH•AD=OD•OA且$AO=\sqrt{O{D^2}+O{A^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，$OH=\frac{{\sqrt{21}}}{14}$，
又O为B₁C的中点，所以点B₁到平面ABC的距离为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点线面距离的求法，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．