题目内容
已知函数f（x）为奇函数，x≠0，在（0，+∞）上f（x）=x-1，且满足不等式f（x-1）＜0，求x的取值范围．
考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：先求出x＜0时，f（x）=x+1，再分别讨论①x-1＞0，②x-1＜0时的情况，从而求出x的范围．
解答：
解：x＜0时，-x∈（0，+∞）
所以f（-x）=（-x）-1=-f（x）
所以x＜0时，f（x）=x+1
①x-1＞0，即x＞1时，
f（x-1）=（x-1）-1=x-2＜0，x＜2
此时x取值范围为1＜x＜2
②x-1＜0，即0＜x＜1时，x-1＜0，
所以f（x-1）=（x-1）+1=x＜0
不符合x＞0的条件，所以此时x无解；
x＜0时：
x-1必然小于0，
所以f（x-1）=（x-1）-1=x-2＜0，x＜2
此时x取值范围为x＜0
所以x取值范围为（-∞，0）∪（1，2）
所以f（-x）=（-x）-1=-f（x）
所以x＜0时，f（x）=x+1
①x-1＞0，即x＞1时，
f（x-1）=（x-1）-1=x-2＜0，x＜2
此时x取值范围为1＜x＜2
②x-1＜0，即0＜x＜1时，x-1＜0，
所以f（x-1）=（x-1）+1=x＜0
不符合x＞0的条件，所以此时x无解；
x＜0时：
x-1必然小于0，
所以f（x-1）=（x-1）-1=x-2＜0，x＜2
此时x取值范围为x＜0
所以x取值范围为（-∞，0）∪（1，2）
点评：本题考查了函数的函数的奇偶性，考查分类讨论思想，是一道中档题．
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