Question

已知一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0（m∈R）有两实根，试问：
（1）m为何值时，该方程一个根大于1，一个根小于1；
（2）m为何值时，该方程两实根在（0，4）内；
（3）m为何值时，该方程两实根在[1，3]外．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由△=4（m+3）²-4（2m+14）≥0，求得m的范围，令f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14，
（1）由f（1）=4m+21＜0，求得m的范围．
（2）由

△≥0 0＜-(m+3)＜4 f(0)=2m+14＞0 f(4)=10m+54＞0

，求得m的范围．
（3）由

△≥0 f(1)=4m+21＜0 f(3)=8m+41＜0

，求得m的范围．

解答： 解：已知一元二次方程x²+2（m+3）x+2m+14=0（m∈R）有两实根，∴△=4（m+3）²-4（2m+14）≥0，
求得m≤-5，或 m≥1．
令f（x）=x²+2（m+3）x+2m+14，
（1）当f（1）=4m+21＜0，即m＜-

21

4

时，该方程一个根大于1，一个根小于1．
（2）由

△≥0 0＜-(m+3)＜4 f(0)=2m+14＞0 f(4)=10m+54＞0

，求得-5.4＜m≤-5，故当-5.4＜m≤-5时，该方程两实根在（0，4）内．
（3）由

△≥0 f(1)=4m+21＜0 f(3)=8m+41＜0

，求得 m＜-

21

4

，故当m＜-

21

4

 时，该方程两实根在[1，3]外．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．