Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²
（1）求f（x）在区间[0，1]上的极值；
（2）若对任意x∈[

1

6

，

1

3

]不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=-2x+b在区间[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求导，求出[0，1]上的单调区间，再利用极值的定义即可得到．
（2）判断x∈[

1

6

，

1

3

]，ln

3

2+3x

∈[0，ln

6

5

]，只有当x=

1

3

时，ln

3

2+3x

=0，a=ln

1

3

，不等式不成立，其它都成立，即可得到a的取值范围；
（3）将f（x）=-2x+b转化为ln（2+3x）-

3

2

x²+2x-b=0，令φ（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²+2x-b，用导数法求得其极值和端点值并比较其大小，由方程在[0，1]上恰有两个不同的实根判断即可得到b的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

2+3x

，
当0≤x＜

1

3

，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

1

3

＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
故f（x）在区间[0，1]上有极大值f（

1

3

）=ln3-

1

6

；
（2）由|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0，∴x∈[

1

6

，

1

3

]，
则ln

3

2+3x

∈[0，ln

6

5

]，只有当x=

1

3

时，ln

3

2+3x

=0，
这时a=ln

1

3

，|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0不成立，
其它情况都成立，故a的取值范围是（-∞，-ln3）∪（-ln3，+∞）；
（3）由于f（x）=b-2x，则ln（2+3x）-

3

2

x²+2x-b=0，
令φ（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²+2x-b，则φ′（x）=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x

2+3x

，
当x∈[0，

7

3

]时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；当x∈[

7

3

，1]时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减．
即有φ（

7

3

）＞φ（0），φ（

7

3

）＞φ（1），φ（0）=ln2-b．
φ（

7

3

）=ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

-b＞0，φ（1）=ln5+

1

2

-b≤0，
则ln5+

1

2

≤b＜ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

．
即实数b的取值范围是[ln5+

1

2

，ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

）．

点评：本题主要考查运用导数求函数的单调区间和极值、最值，用函数法解决方程根的问题，属于中档题．