Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$
（1）求A，ω，φ的值．
（2）写出函数f（x）图象的对称中心及单调递增区间．
（3）当x∈$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意知，A=2，T=π，可求得ω，由图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$，可求得φ；
（2）求f（x）的解析式，根据正弦函数的图象与性质，写出函数f（x）图象的对称中心及单调递增区间；
（3）由x∈$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$⇒2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的值域．

解答 解：（1）由题意知，A=2，T=π，∴ω=2；
又图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$；
（2）f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，可得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，
∴函数f（x）图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，0），k∈Z；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]$，k∈Z；
（3）∵x∈$[{\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤f（x）≤2．
即f（x）的值域为[-1，2]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．