Question

4．已知△ABC中，$AB=1，BC=\sqrt{3}，BD$是AC边上的中线．
（1）求$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}$；
（2）若$BD=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）利用△ABD的面积与△CBD的面积相等，即$\frac{1}{2}•AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}•BC•BD•sin∠CBD$，即可求$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}$；
（2）用余弦定理，BD²+AD²-2•BD•AD•cos∠ADB=AB²，①，BC²=BD²+AD²-2•BD•AD•cos∠ADB，…②，①+②得AB²+BC²=2BD²+2AD²，求出AD，即可求AC的长．

解答 解：（1）因为BD是AC边上的中线，
所以△ABD的面积与△CBD的面积相等，
即$\frac{1}{2}•AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}•BC•BD•sin∠CBD$，
所以$\frac{sin∠ABD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$．                                 …（5分）
（2）在△ABC中，因为AB=1，$BC=\sqrt{3}$，
利用余弦定理，BD²+AD²-2•BD•AD•cos∠ADB=AB²，①，
BC²=BD²+AD²-2•BD•AD•cos∠ADB，…②
①+②得AB²+BC²=2BD²+2AD²，所以$AD=\frac{1}{2}$，所以AC=1．         …（12分）

点评 本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．