Question

17．已知△ABC为非直角三角形，其内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且有$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}co{s}^{2}\frac{B}{2}-cos$$\frac{C}{2}$cos²$\frac{B}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{C}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{C}{2}$=0．
（1）求角C；
（2）若c=3，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式与和差公式对已知条件左侧分解因式，得出C．
（2）利用正余弦定理得出a，b的关系，连理方程组解出a，b．

解答 解：（1）∵$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}co{s}^{2}\frac{B}{2}-cos$$\frac{C}{2}$cos²$\frac{B}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sin\frac{C}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{C}{2}$=0．
∴cos²$\frac{B}{2}$（$\sqrt{3}$sin$\frac{C}{2}$-cos$\frac{C}{2}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{C}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{C}{2}$=0．
∴cos²$\frac{B}{2}$•2sin（$\frac{C}{2}-\frac{π}{6}$）-sin（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$）-0，
∴sin（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{6}$）（2cos²$\frac{B}{2}$-1）=0，
∴sin（$\frac{C}{2}-\frac{π}{6}$）cosB=0，
∴sin（$\frac{C}{2}-\frac{π}{6}$）=0或cosB=0．
∴$\frac{C}{2}-\frac{π}{6}$=kπ或B=$\frac{π}{2}$（舍去）．
∴C=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）若sinB=3sinA，则由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得b=3a，①
又∵c=3，则由余弦定理，得9=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，②
联立方程①②，解得a=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，b=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．