Question

4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线x-my-6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点的坐标为（$\frac{1}{2}$，±$\sqrt{p}$），利用抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；
（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y²=4x得，y²-4my-24=0，利用∠AFB=90°，可得FA⊥FB，即$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0，可得：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，即可求实数m的值．

解答 解：（1）抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点的坐标为（$\frac{1}{2}$，±$\sqrt{p}$），到抛物线顶点的距离的平方为$\frac{1}{4}$+p，
∵抛物线上横坐标为$\frac{1}{2}$的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，
∴$\frac{1}{4}$+p=（$\frac{1}{2}$+$\frac{p}{2}$）²，
∴p=2
抛物线的方程为：y²=4x．…
（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y²=4x得，y²-4my-24=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-24，
∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=0
可得：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0
∴（1+m²）y₁y₂+5m（y₁+y₂）+25=0
∴-24（1+m²）+20m²+25=0，
解得：m=±$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．