Question

4．已知函数$f（x）={e^x}+\frac{1}{e^x}$，则使得f（2x）＞f（x+3）成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 利用导数确定函数为单调性，再确定函数为偶函数，则f（2x）＞f（x+3）转化为|2x|＞|x+3|，解得即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴f′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$=$\frac{（{e}^{x}+1）（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}}$
当f′（x）＞0时，即x＞0时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，即x＜0时，函数f（x）单调递减，
∵f（2x）＞f（x+3），
∴|2x|＞|x+3|，
解得x＜-1或x＞3，
故x的取值范围为：（-∞，-1）∪（3，+∞），
故答案为：（-∞，-1）∪（3，+∞）．

点评 本题主要考察函数的单调性，并根据单调性判断函数的取值，属于中档题．