Question

1．已知倾斜角为60°的直线l过点（0，-2$\sqrt{3}$）和椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过（-3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得直线l的方程，求得与x轴的焦点坐标，则c=2，根据椭圆的离心率公式即可求得a的值，由b²=a²-c²=2，代入即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程代入椭圆方程根据韦达定理及向量数量积的坐标运算可知：$\frac{y_1}{{{x_1}+2}}•\frac{y_2}{{{x_2}+2}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-m（{y_1}+{y_2}）+1}}=-1$，即可求得m的值，即可求得直线l的方程．

解答 解：（I）∵直线l的倾斜角为60°，
∴直线l的斜率为k=$\sqrt{3}$，
又∵直线l过点（0，-2$\sqrt{3}$），则直线l的方程为y+2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$x，…（3分）
∵a＞b，
∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，
∴椭圆的焦点为（2，0），则c=2，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=$\sqrt{6}$，b²=a²-c²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；…（5分）
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…（6分）
联立直线与椭圆的方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1\\ x=my-3\end{array}\right.$，得（m²+3）y²-6my+3=0，
由韦达定理可知：${y_1}+{y_2}=\frac{6m}{{{m^2}+3}}，{y_1}{y_2}=\frac{3}{{{m^2}+3}}$，…（7分）
由题意可知AF₁⊥BF₁，即${k_{AF}}_1•{k_{B{F_1}}}=-1$…，（8分）
∴$\frac{y_1}{{{x_1}+2}}•\frac{y_2}{{{x_2}+2}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-m（{y_1}+{y_2}）+1}}=-1$，
整理得：（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0…（10分）
∴$\frac{{3（{m^2}+1）}}{{{m^2}+3}}-\frac{{6{m^2}}}{{{m^2}+3}}+1=0$，解得：$m=±\sqrt{3}$…（11分）
代入△=36m²-12（m²+3）=24×3-36=36＞0，…（12分）
∴直线l的方程为$x+\sqrt{3}y+3=0或x-\sqrt{3}y+3=0$．…（13分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．