Question

15．如图，已知AC是以AB为直径的⊙O的一条弦，点D是劣弧$\widehat{AC}$上的一点，过点D作DH⊥AB于H，交AC于E，延长线交⊙O于F．
（Ⅰ）求证：AD²=AE•AC；
（Ⅱ）延长ED到P，使PE=PC，求证：PE²=PD•PF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由射影定理可得AD²=AH•AB．利用△AHE∽△ACB，得出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，即可证明结论；
（Ⅱ）证明∠PCE+∠EAH=90°．利用OA=OC，得出∠EAH=∠ACO，可得∠PCE+∠ACO=90°，即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）由射影定理可得AD²=AH•AB．
∵△AHE∽△ACB，∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，
∴AH•AB=AE•AC，
∴AD²=AE•AC；
（Ⅱ）连接OC，则
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC．
∵∠AEH=∠PEC，
∴∠PCE=∠AEH．
∴∠EAH+∠AEH=90°，
∴∠PCE+∠EAH=90°．
∵OA=OC，
∴∠EAH=∠ACO，
∴∠PCE+∠ACO=90°，
∴OC⊥PC．

点评 本题考查射影定理的运用，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．