Question

3．已知数列{a_n}的首项a₁=3，a_n+1=3ⁿa_n，则通项公式a_n=${3}^{\frac{（n-1）n}{2}}$．

Answer 1

分析 a₁=3，a_n+1=3ⁿa_n，可得n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3^n-1，利用“累乘求积”方法即可得出．

解答 解：∵a₁=3，a_n+1=3ⁿa_n，
∴n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3^n-1，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=3^n-1×3^n-2×…×3²×3×1
=${3}^{\frac{（n-1）n}{2}}$，
n=1时也成立．
∴a_n=${3}^{\frac{（n-1）n}{2}}$，
故答案为：${3}^{\frac{（n-1）n}{2}}$．

点评 本题考查了“累乘求积”方法、等差数列的求和公式、指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．