Question

6．（1）化简S_n=1+2a+3a²+4a³+…+na^n-1，a≠0，n∈N^*；
（2）已知等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=81，若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，则数列{$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）讨论a=1时，运用等差数列的求和公式；当a≠1，a≠0时，运用错位相减法和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和；
（2）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，可得公比q=3，进而得到等比数列的通项公式，求得b_n=log₃3ⁿ=n，即有$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）当a=1时，S_n=1+2+3+4+…+n=$\frac{n（1+n）}{2}$；
当a≠1，a≠0时，S_n=1+2a+3a²+4a³+…+na^n-1，
aS_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ，
相减可得，（1-a）S_n=1+a+a²+a³+…+a^n-1-naⁿ
=$\frac{1-{a}^{n}}{1-a}$-naⁿ，
化简可得，S_n=$\frac{1-{a}^{n}}{（1-a）^{2}}$-$\frac{n{a}^{n}}{1-a}$；
（2）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=3，a₄=81，可得3q³=81，
解得q=3，
则a_n=a₁q^n-1=3ⁿ．
即有b_n=log₃a_n=log₃3ⁿ=n，
$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则前n项和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的求和方法：错位相减法和裂项相消求和，考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．