题目内容
设函数y=f（x）的定义域为R．对于正数K，定义“Ψ”函数fΨ（x）=
，若f（x）=2-x-e-x，恒有fΨ（x）=f（x），则K的最小值为 ．
|
考点：分段函数的应用
专题：函数的性质及应用
分析：根据新定义的函数建立fφ（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．
解答：
解：由题意可得出k≥f（x）最大值，
由于f′（x）=-1+e-x，令f′（x）=0，e-x=1=e0解出-x=0，即x=0，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故当k≥1时，恒有fφ（x）=f（x）．
因此K的最小值是1．
故答案为：1．
由于f′（x）=-1+e-x，令f′（x）=0，e-x=1=e0解出-x=0，即x=0，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2-1=1．
故当k≥1时，恒有fφ（x）=f（x）．
因此K的最小值是1．
故答案为：1．
点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目