Question

某箱子的容积与底面边长x的关系为V（x）=x²（

60-x

2

）（0＜x＜60），则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：令v′=60x-

3

2

x2=0，解得x=0（舍去），或x=40，由此能求出当箱子的容积最大时，箱子的底面边长．

解答： 解：∵V（x）=x²（

60-x

2

）（0＜x＜60），
∴v′=60x-

3

2

x2，0＜x＜60，
令v′=60x-

3

2

x2=0，解得x=0（舍去），或x=40，
并求得V（40）=16000．
当x∈（0，40）时，v‘（x）＞0，v（x）是增函数；
当x∈（40，60）时，v′（x）＜0，v（x）是减函数，
v（40）=16000是最大值．
∴当箱子容积最大，箱子的底面边长为40．
故答案为：40．

点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，容易出错，是高考的重点．解题时要注意导数的灵活运用．