Question

如图，ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在PC上，F，G分别是PD和AD的中点．
（Ⅰ）证明：AP∥平面EFG
（Ⅱ）证明：BC⊥DE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结FG，得AP∥FG，由此能证明AP∥平面EFG．
（Ⅱ）由正方形性质得BC⊥DC，由线面垂直得BC⊥PD，从而BC⊥平面PDC，由此能证明BC⊥DE．

解答： 证明：（Ⅰ）如图，连结FG，
∵F，G分别是PD和AD的中点，
∴AP∥FG，
又∵FG?平面EFG，AP不包含于平面EFG，
∴AP∥平面EFG．
（Ⅱ）∵ABCD是正方形，∴BC⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD，
∵PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC，
又∵DE?平面PDC，
∴BC⊥DE．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．