Question

17．设函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），函数g（x）=-x²+bx+c，且f（4）-f（2）=1，g（x）的图象过点A（4，-5）及B（-2，-5）．
（1）求f（x）和g（x）的表达式； 
（2）求函数g（x）在（0，2）的值域．

Answer 1

分析 （1）使用待定系数法解出a，b，c；（2）求出g（x）的对称轴，判断g（x）在（0，2）上的单调性，求出g（x）的最值．

解答 解：（1）∵f（4）-f（2）=1，∴log_a4-log_a2=log_a2=1，∴a=1．∴f（x）=log₂x．
∵g（x）的图象过点A（4，-5）及B（-2，-5），∴g（x）的对称轴为x=$\frac{4-2}{2}$=1，∴$\frac{b}{2}=1$，b=2．
∵g（4）=-5，∴-16+8+c=-5．解得c=3．∴g（x）=-x²+2x+3．
（2）∵g（x）的图象开口向下，对称轴为x=1，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在[1，2）上单调递减，
∴g（0）＜g（x）≤g（1），∴3＜g（x）≤4．
∴g（x）的值域为（3，4]．

点评 本题考查了函数解析式的求解，二次函数的单调性及最值，属于基础题．