Question

9．设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）且f（1）=-$\frac{a}{2}$，3a＞2c＞2b
（1）证明：a＞0且b＜0；
（2）证明：函数 f （x）在区间（0，2内至少有一个零点；
（3）设x₁，x₂ 是函数 f （x）的两个零点，证明：$\sqrt{2}≤|{x}_{1}-{x}_{2}|＜\frac{\sqrt{57}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=0，可得a，b，c的关系，再根据3a＞2c＞2b，将其中的c代换成a与b表示，即可证明：a＞0且b＜0；
（2）求出f（2）的值，根据已知条件，分别对c的正负情况进行讨论即可；
（3）根据韦达定理，将|x₁-x₂|转化成用两个根表示，然后转化成用$\frac{b}{a}$表示，运用（1）的结论，即可求得|x₁-x₂|的取值范围．

解答 解：（1）∵f（1）=a+b+c=-$\frac{a}{2}$，
∴3a+2b+2c=0．
又3a＞2c＞2b．
（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a-c=a-c．
下面对c的正负情况进行讨论：
①当c＞0时，∵a＞0，
∴f（0）=c＞0，f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点；
②当c≤0时，∵a＞0，
∴f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0，f（2）=a-c＞0
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点；
综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个零点
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两根．
故x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{-\frac{3a+2b}{2}}{a}$=$-\frac{3}{2}-\frac{b}{a}$
从而|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（{-\frac{b}{a}）}^{2}-4（-\frac{3}{2}-\frac{b}{a}）}$=$\sqrt{（{\frac{b}{a}+2）}^{2}+2}$．
∵由（1）知a＞0，b＜0，
又2c=-3a-2b及3a＞2c＞2b知3a＞-3a-2b＞2b
∵a＞0，∴3＞-3-$\frac{2b}{a}$＞2•$\frac{b}{a}$，
即-3＜$\frac{b}{a}$＜-$\frac{3}{4}$，
∴$\sqrt{2}≤$|x₁-x₂|$＜\frac{\sqrt{57}}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；难度较大．