Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，3S_n-（-2）ⁿ⁺²=a_n+1-6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

12

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得3a_n-（-2）ⁿ⁺²+（-2）ⁿ⁺¹=a_n+1-a_n，从而{

an

(-2)n

-1}是首项为-2，公比为-2的等比数列，由此能求出a_n=4ⁿ+（-2）ⁿ．
（2）由已知得

1

a1

=

1

2

，

1

a2

=

1

20

，

1

a3

=

1

56

，

1

a4

=

1

272

，

1

an

≤

1

2n(2n-1)

=

1

2n-1

-

1

2n

，从而

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

+

1

20

+

1

56

+

1

272

+（

1

25-1

-

1

25

+…+

1

2n-1

-

1

2n

），由此能证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

12

．

解答： （1）解：∵a₁=2，3S_n-（-2）ⁿ⁺²=a_n+1-6，①
∴3S_n-1-（-2）ⁿ⁺¹=a_n-6．②
①-②，得3a_n-（-2）ⁿ⁺²+（-2）ⁿ⁺¹=a_n+1-a_n，
整理，得a_n+1=4a_n+3（-2）ⁿ⁺¹，
∴

an+1

(-2)n+1

=（-2）•

an

(-2)n

+3，
∴

an+1

(-2)n+1

-1=-2[

an

(-2)n

-1]，
又

a1

-2

-1=-2，
∴{

an

(-2)n

-1}是首项为-2，公比为-2的等比数列，
∴

an

(-2)n

-1=(-2)n，
∴a_n=4ⁿ+（-2）ⁿ．
（2）证明：∵a_n=4ⁿ+（-2）ⁿ=（-2）²ⁿ+（-2）ⁿ=（-2ⁿ）[（-2）ⁿ+1]，
∴

1

an

=

1

(-2)n[(-2)n+1]

=

1

(-2)n

-

1

(-2)n+1

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

4

-

1

5

+

1

7

-

1

8

+…+

1

(-2)n

-

1

(-2)n+1

，

1

a1

=

1

2

，

1

a2

=

1

20

，

1

a3

=

1

56

，

1

a4

=

1

272

，
∵4ⁿ+（-2）ⁿ≥4ⁿ-2ⁿ=2ⁿ（2ⁿ-1），
∴

1

an

≤

1

2n(2n-1)

=

1

2n-1

-

1

2n

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

+

1

20

+

1

56

+

1

272

+（

1

25-1

-

1

25

+…+

1

2n-1

-

1

2n

），
下面估算

1

25-1

-

1

25

+…+

1

2n-1

-

1

2n

的值，
令

1

25-1

-

1

25

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=t，
则

1

25-1

-

1

25

+…+

1

2n-1

-

1

2n

＜

1

25-2

-

1

25

+…+

1

2n-2

-

1

2n

-

1

2n

=

1

2

（

1

24-1

-

1

24

+…+

1

2n-1-1

-

1

2n-1

）
=

1

2

（

1

24-1

-

1

24

+

1

25-1

-

1

25

-

1

25

+…+

1

2n-1

-

1

2n

）-

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n

），
即t＜

1

2

（

1

24-1

-

1

24

）+

t

2

-

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n

）＜

1

2

（

1

24-1

-

1

24

）+

t

2

，
得t＜

1

24-1

-

1

24

=

1

240

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

+

1

20

+

1

56

+

1

272

+

1

240

＜

7

12

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时认真审题，注意裂项求和法的合理运用．