Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=（

1

2

）^f（x），求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用待定系数法即可求f（x）的解析式；
（2）设t=f（x），利用复合函数单调性之间的关系即可，求函数g（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，∴c=1，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2x
即2ax+a+b=2x，
则2a=2且a+b=0，
解得a=1，b=-1，
则f（x）=x²-x+1；
（2）设t=f（x），则函数g（x）等价为y=（

1

2

）^t，为减函数，
要求函数g（x）的单调增区间，即求函数t=f（x）的减区间，
∵f（x）=x²-x+1的递减区间为（-∞，

1

2

]，
故函数函数g（x）的单调增区间为（-∞，

1

2

]．

点评：本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调区间的求解，利用待定系数法以及换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．