Question

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）
（Ⅰ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性定义加以证明；
（Ⅱ）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，
（Ⅱ）根据函数的单调性和值域之间的关系，建立方程关系即可求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，下面用定义证明
证明：任取0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-（

1

a

-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

，
又∵0＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂，x₁-x₂＜0，
∴

x1-x2

x1x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增…（8分）
（Ⅱ）∵f（x）在[

1

2

，2]上单调递增，
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（2）=2，
则

1 a -2= 1 2 1 a - 1 2 =2

，解得a=

2

5

．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，根据函数的定义是解决本题的关键．