Question

平面内动点P（x，y）与两定点A（-2，0），B（2，0）连级的斜率之积等于-

1

3

，若点P的轨迹为曲线E，过点（-1，0）作斜率不为零的直线BC交曲线E于点B、C．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）求证：AB⊥AC；
（Ⅲ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：

y

x-2

•

y

x+2

=-

1

3

，化简得曲线E的方程；
（Ⅱ）设BC方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AB⊥AC；
（Ⅲ）△ABC面积为

1

2

|y1-y2|=

4m2+9

m2+3

=

4 m2+3 - 3 (m2+3)2

，即可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：

y

x-2

•

y

x+2

=-

1

3

，化简得x²+3y²=4
曲线E的方程为，x²+3y²=4，（x≠±2）…（4分）
（Ⅱ）证明：BC斜率不为0，所以可设BC方程为my=x+1，
与椭圆联立得：（m²+3）y²-2my-3=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），所以y1+y2=

2m

m2+3

，y1y2=

-3

m2+3

．…（6分）
(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=

-3(m2+1)

m2+3

+

2m2

m2+3

+1=0，
所以AB⊥AC…（8分）
（Ⅲ）△ABC面积为

1

2

|y1-y2|=

4m2+9

m2+3

=

4 m2+3 - 3 (m2+3)2

，…（10分）
当m=0时面积最大为1．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．