Question

14．f（x）=$\frac{1}{tanx}$+$\frac{sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1}$，则f（$\frac{π}{8}$）的值为3$\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简可得f（x）=$\frac{3+cos2x}{sin2x}$，代入x=$\frac{π}{8}$，利用特殊角的三角函数值即可计算求值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{tanx}$+$\frac{sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1}$=$\frac{cosx}{sinx}$+$\frac{\frac{1}{2}sinx}{cosx}$=$\frac{2co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}{2sinxcosx}$=$\frac{3+cos2x}{sin2x}$，
∴f（$\frac{π}{8}$）=$\frac{3+cos\frac{π}{4}}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{3+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}+1$．
故答案为：3$\sqrt{2}+1$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，特殊角的三角函数值的应用，考查了计算能力，属于基础题．