Question

19．已知△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．
（1）若acosC=（2b-c）cosA，求角A的大小；
（2）已知3c=2b，且E，F分别是边AC，AB，的中点，若|BE|＜t|CF|恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A；
（2）要求t的最小值，即要求BE与CF比值的最大值，由AB与AC的关系，用AB表示出AC，在△ABE中，由余弦定理表示BE²，在△ACF中，利用余弦定理表示出CF²，并表示出BE与CF的平方比，分离出常数，由A为三角形的内角，得到A的范围，表示比值求出最大值，即可得到t的取值范围．

解答 解：（1）acosC=（2b-c）cosA，即为：acosC+ccosA=2bcosA，
由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，
∵B∈（0，π），
∴sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）根据题意画出图形，如图所示：
∵3c=2b，可得：3AB=2AC，
∴AC=$\frac{3}{2}$AB，
又E、F分别为AC、AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}$AB，
∴在△ABE中，由余弦定理得：BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cosA
=AB²+（$\frac{3}{4}$AB）²-2AB•$\frac{3}{4}$AB•cosA=$\frac{25}{16}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理得：CF²=AF²+AC²-2AF•AC•cosA
=（$\frac{1}{2}$AB）²+（$\frac{3}{2}$AB）²-2•$\frac{1}{2}$AB•$\frac{3}{2}$AB•cosA=$\frac{5}{2}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{\frac{25}{16}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}{\frac{5}{2}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}$=$\frac{\frac{25}{16}-\frac{3cosA}{2}}{\frac{5-3cosA}{2}}$，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{\frac{25}{16}-\frac{3}{2}cosA}{\frac{5}{2}-\frac{3cosA}{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$，
∵当cosA取最小值时，$\frac{BE}{CF}$比值最大，
∴当A→π时，cosA→-1，此时$\frac{BE}{CF}$达到最大值，最大值为 $\sqrt{1-\frac{15}{40+24}}$=$\frac{7}{8}$，
则 $\frac{BE}{CF}$＜t恒成立，t的最小值为$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和面积公式的运用，考查了两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查了余弦定理，余弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立时满足的条件，余弦定理建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．