Question

9．若实数a，b，c，d满足a²-lna=b，c-2=d，则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 可知点P（a，b）是曲线f（x）=x²-lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=x-2上的点，由导数的几何意义可知，过曲线y=x²-lnx上的点P（a，b）的切线且与线y=x-2平行时，PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$有最小值，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求．

解答 解：设点P（a，b）是曲线f（x）=x²-lnx（x＞0）上的点，
Q（c，d）是直线y=x-2上的点，
∴|PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$，
要使|PQ|最小，当且仅当过曲线y=x²-lnx上的点P（a，b）的切线且与y=x-2平行时．
f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$（x＞0），
由$\frac{2{a}^{2}-1}{a}$=1，可得a=1（负值舍去），
∴点P（1，1）到直线y=x-2的距离为d=$\frac{|1-1-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵|PQ|≥d=$\sqrt{2}$，则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的最小值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数最值的求法，运用两点的距离公式是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题．