Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知圆及点，．

（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，，求直线的方程；

（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）或．（2）．

【解析】

试题分析：（1）本题实质为直线被圆截得弦长问题，一般方法为利用垂径定理进行转化解决：先根据AB斜率得直线斜率，设直线方程，再根据AB长得弦长，最后根据垂径定理得，根据圆心到直线的距离公式得代入得，解得或，（2）点既在圆上，又满足，因此研究点的个数，实质研究两曲线位置关系，先确定满足的轨迹方程 ，利用直接法得，也为圆，所以根据两圆位置关系可得点的个数

试题解析：（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为．

因为，，，所以直线的斜率为，

设直线的方程为， ……………………………………………2分

则圆心到直线的距离为．…………………………4分

因为，

而，所以， ……………………………6分

解得或，

故直线的方程为或．…………………………………8分

（2）假设圆上存在点，设，则，

，

即，即， ………………………………10分

因为，……………………………………12分

所以圆与圆相交，

所以点的个数为．…………………………………………………………14分