Question

【题目】如图，已知抛物线：，过焦点斜率大于零的直线交抛物线于、两点，且与其准线交于点．

（1）若线段的长为，求直线的方程；

（2）在上是否存在点，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列．

【解析】

试题分析：（1）设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式进行求解；（2）假设存在点，利用等差中项和恒成立判定是否有解.

试题解析：（1）焦点∵直线的斜率不为，所以设，， 由得，，，，，

∴， ∴． ∴直线的斜率，∵，∴， ∴直线的方程为．

（2）设，，同理，，

∵直线，，的斜率始终成等差数列，∴恒成立，即恒成立．∴，把，代入上式，得恒成立，．∴存在点或，使得对任意直线，直线，，的斜率始终成等差数列．