题目内容
【题目】已知函数
（其中
）
(Ⅰ) 若
在其定义域内为单调递减函数，求
的取值范围；
(Ⅱ) 是否存在实数
，使得当
时，不等式
恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中
是自然对数的底数，＝2.71828…）.
【答案】(Ⅰ)
；(Ⅱ) 
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先求得导函数，然后分
、
讨论函数的单调性，由此求得
的取值范围；(Ⅱ) 首先求得导函数，然后分
、
讨论函数的单调性并求得其极值，然后根据各段函数的最值求得
的取值范围.
试题解析：(Ⅰ) 由于
，其中
，
，
只需
在
时恒成立，
①当
时，
，于是
在
为减函数，
②当
时，由
在
时恒成立，即
在恒成立，
可知当时，
，
由
得
，这与不符，舍去.
综上所述，
的取值范围是
.
(Ⅱ) 
.
(ⅰ) 当时，
，于是
在为减函数，则在
也为减函数，
知
恒成立，不合题意，舍去
(ⅱ) 当
时，由
得
.列表得
x | (0， |
| ( |
| ＋ | 0 | － |
| ↗ | 极大值 | ↘ |
①若
，即
，此时
在上单调递减，
知
，而
，
于是
恒成立，不合题意，舍去.
②若
，即
时，
此时在(
，
上为增函数，在(
,
)上为减函数，
要使在恒有
恒成立，则必有
则
所以
由于
，则
，所以
.
综上所述，存在实数，使得
恒成立
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