Question

【题目】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，动点满足：直线与直线的斜率之积为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过点作两条互相垂直的射线，与（1）的轨迹分别交于两点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

试题分析：(1)设出动点的坐标,根据斜率之积为,可以求得轨迹方程；(2)设直线,与曲线方程联立,消去,得出关于的一元二次方程,写出韦达定理,因为,代入可以得到的等式,把用换掉,可以得到三角形的高为定值,再用基本不等式放缩得到面积的最值.

试题解析：解：（1）已知，设动点的坐标，

∴直线的斜率，直线的斜率，

又，∴，即.

（2）设，直线的方程为，

与椭圆联立，消去得，

，.

∵，∴，∴，

即，

把，代入得，

整理得，

∴到直线的距离.

∵，∴，当且仅当时取“=”.

由得，

∴，即弦的长度的最小值是.

∴面积的最小值为.