Question

f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+x•f′（x）＜0，且f（-4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用

分析：利用导数求得函数y=xf（x）在（-∞，0）上是减函数，函数y=xf（x）在（0，+∞）上是增函数，且可得f（4）=f（-4）=0，从而求得不等式xf（x）＞0的解集．

解答： 解：∵当x＜0时，f（x）+x•f′（x）＜0，
即[xf（x）]′＜0，
故函数y=xf（x）在（-∞，0）上是减函数．
再根据f（x）为偶函数，可得函数y=xf（x）是奇函数
且在（0，+∞）上是减函数．
故由f（-4）=0，可得f（4）=0，如图所示：
故不等式xf（x）＞0的解集为{x|x＜-4，或0＜x＜4}，
故答案为：{x|x＜-4，或0＜x＜4}．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．