Question

设直线l：y=kx+m（其中k，m为整数）与椭圆

x2

16

+

y2

12

=1交于不同两点A，B，与双曲线

x2

4

-

y2

12

=1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量

AC

+

BD

=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，由

y=kx+m x2 4 - y2 12 =1

，得（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件，能求出满足条件的直线的条数．

解答： 解：由

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

，
消去y化简整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8km

3+4k2

△1=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-48)＞0，①…4分
由

y=kx+m x2 4 - y2 12 =1

消去y化简整理得（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
设C（x₃，y₄），D（x₄，y₄），
则x3+x4=

2km

3-k2

△2=(-2km)2+4(3-k2)(m2+12)＞0②…（8分）
因为

AC

+

BD

=0，
所以（y₄-y₂）+（y₃-y₁）=0．
由x₁+x₂=x₃+x₄得-

8km

3+4k2

=

2km

3-k2

．
所以2km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

．
由上式解得k=0或m=0．当k=0时，
由①和②得-2

3

＜m＜2

3

．
因为m是整数，所以m的值为-3，-2，-1，0，1，2，3．
当m=0，由①和②得-

3

＜k＜

3

．
因为k是整数，所以k=-1，0，1．
于是满足条件的直线共有9条．…（14分）

点评：本题考查满足条件的直线条数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．