Question

9．若$f（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x-4），x＞0\\{2^x}+\int_{\;0}^{\;\frac{π}{6}}{cos3xdx，x≤0}\end{array}\right.$，则f（2016）=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由已知得f（2016）=f（0）=${2}^{0}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xdx$=1+$\frac{1}{3}$${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xd（3x）$，由此能求出结果．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x-4），x＞0\\{2^x}+\int_{\;0}^{\;\frac{π}{6}}{cos3xdx，x≤0}\end{array}\right.$，
∴f（2016）=f（0）=${2}^{0}+{∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xdx$
=1+$\frac{1}{3}$${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}cos3xd（3x）$=1+$\frac{1}{3}$×$sin3{x|}_{0}^{\frac{π}{6}}$=1+$\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考是函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、定积分知识的合理运用．