Question

已知函数f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）=ln（2x+3）+x²在区间[-

3

4

，

1

4

]上的最大值与最小值..

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）首先求出f′（x），然后求出f'（x）＞0时x的范围，以及f'（x）＜0时x的范围，讨论f（x）的单调性即可；
（2）分别求出f（x））=ln（2x+3）+x²在区间[-

3

4

，

1

4

]上的极值和区间端点的函数，比较大小，即可求出函数的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由f（x）=ln（2x+3）+x²，可得
f′(x)=

2(2x+1)(x+1)

2x+3

，
所以当-

3

2

＜x＜-1时，f'（x）＞0；
当-1＜x＜-

1

2

时，f'（x）＜0；
当x＞-

1

2

时，f'（x）＞0．
从而，f（x）在区间（-

3

2

，-1），（-

1

2

，+∞）单调增加，在区间（-1，-

1

2

）单调递减；
（2）由（1）可知函数在x=-

1

2

处取极值，
而f（-

3

4

）=ln

3

2

+

9

16

，f（-1）=1，f（-

1

2

）=ln2+

1

4

，f（

1

4

）=ln

7

2

+

1

16

，
所以f（x）=ln（2x+3）+x²在区间[-

3

4

，

1

4

]上的最大值是ln

7

2

+

1

16

，最小值是ln2+

1

4

．

点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．