题目内容
设函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当x∈R时，ex≥x+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当x∈R时，ex≥x+1．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）先求导数，然后根据导数的正负，可得函数的单调性；
（2）研究函数的极值点，连续函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值，即可证明结论．
（2）研究函数的极值点，连续函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值，那么极小值就是最小值，即可证明结论．
解答：
（1）解：的导数f′（x）=ex-1
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增；
（2）证明：由（1）知当x=0时，f（x）取得最小值1，
∴ex-x≥1，
∴当x∈R时，ex≥x+1．
令f′（x）＞0，解得x＞0；令f′（x）＜0，解得x＜0．
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增；
（2）证明：由（1）知当x=0时，f（x）取得最小值1，
∴ex-x≥1，
∴当x∈R时，ex≥x+1．
点评：本题主要考查了函数的单调性，考查利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
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