Question

已知圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M是圆O上任意一点，直线AM与BC交于点P，CM交x轴于点N，设直线PM，PN的斜率分别为m，n．
（1）试求点M，N坐标；
（2）求证：m-2n为定值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设M（s，t），P（x，y），由直线AM：y=m（x+1），BC：x+y=1，联立两方程得，P（

1-m

1+m

，

2m

1+m

）．再由s²+t²=1，①m=

t

s+1

②求出M的坐标，再由C，M，N共线，得到N的坐标；
（2）由于直线PN的斜率为n，且P（

1-m

1+m

，

2m

1+m

）．N（

1+m

1-m

，0）．运用直线的斜率公式，化简整理即可得到m-2n为定值1．

解答： （1）解：A（-1，0），B（1，0），C（0，1），设M（s，t），P（x，y），
则s²+t²=1，①
直线AM：y=m（x+1），BC：x+y=1，联立两方程得，
x=

1-m

1+m

，y=

2m

1+m

，即P（

1-m

1+m

，

2m

1+m

）．
又m=

t

s+1

②
由①②解得，s=

1-m2

1+m2

，t=

2m

1+m2

，
设N（v，0），则由C，M，N共线，得

t-1

s

=

-1

v

，则v=

1-m2

1+m2-2m

=

1+m

1-m

，
故点M（

1-m2

1+m2

，

2m

1+m2

），N（

1+m

1-m

，0）．
（2）证明：由于直线PN的斜率为n，且P（

1-m

1+m

，

2m

1+m

）．N（

1+m

1-m

，0）．
则n=

2m 1+m

1-m 1+m - 1+m 1-m

=

m-1

2

，
故m-2n=1．即m-2n为定值1．

点评：本题考查直线方程和圆的方程及运用，考查直线的斜率的公式，化简整理的能力，属于中档题．