Question

求下列函数的极值：
（1）f（x）=

x3-2

2(x-1)2

；
（2）f（x）=x²e^-x．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数，结合导数符号与原函数单调性的关系，分析出函数的单调性，进而结合函数极值的定义得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x3-2

2(x-1)2

，
∴f′（x）=

3x2×2(x-1)2-(x3-2)×4(x-1)

4(x-1)4

=

x3-6x2+4

2(x-1)3

=

(x+1)(x-2)2

2(x-1)3

，
故当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0，
故f（x）在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
由f（x）=

x3-2

2(x-1)2

在x=1处不连续，
故当x=-1时，函数取极大值-

3

8

（2）∵f（x）=x²e^-x=

x2

ex

，
∴f′（x）=

2xex-x2•ex

(ex)2

=

2x-x2

ex

=

-x(x-2)

ex

，
故当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（-∞，0）上为减函数，在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，
故当x=0时，函数取极小值0，当x=2时，函数取极大值

4

e2

．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，熟练掌握导数法求极值的步骤是解答的关键，难度不大，属于中档题．