题目内容
△ABC中，∠A=
且有bsin（C+
）-c•sin（B+
）=a
（1）求证：B-C=
；
（2）若a=
，求△ABC的面积．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（1）求证：B-C=
| π |
| 2 |
（2）若a=
| 2 |
考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数
专题：解三角形
分析：（1）利用三角函数的恒等变换，化简所给的等式可得sin（B-C）=1，再根据-
＜B-C＜
，可得 B-C=
．
（2）由 B-C=
，B+C=π-A=
，求得B和C的值，再利用正弦定理求得b，可得△ABC的面积
ab•sinC 的值．
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（2）由 B-C=
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）证明：△ABC中，∵∠A=
且有bsin（C+
）-c•sin（B+
）=a，
∴sinBsin（C+
）-sinCsin（B+
）=sinA=
，化简可得 sinBcosC-sinCcosB=1，即sin（B-C）=1．
再根据-
＜B-C＜
，可得 B-C=
．
（2）由 B-C=
，B+C=π-A=
，可得 B=
，C=
．
又sin
=
=
，cos
=
=
，
∴sin
=sin（
+
）=cos
=
．
再由正弦定理可得
=
，即
=
，求得 b=
，
∴△ABC的面积为
ab•sinC=
•
•
•
=
．
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴sinBsin（C+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| ||
| 2 |
再根据-
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（2）由 B-C=
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| 5π |
| 8 |
| π |
| 8 |
又sin
| π |
| 8 |
|
| ||||
| 2 |
| π |
| 8 |
|
| ||||
| 2 |
∴sin
| 5π |
| 8 |
| π |
| 2 |
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| ||||
| 2 |
再由正弦定理可得
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| ||||
|
| b | ||||||
|
2+
|
∴△ABC的面积为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
2+
|
| ||||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于比较基础题．
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