Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对?x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x²+4的解集为（　　）

• A、（-∞，-1）
• B、（-∞，1）
• C、R
• D、（-1，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的图象的平移得到g（x）=f（x+1）+5的图象的特点，有g′（x）＞2x知g（x）＜x²+4的单调性，可求得．

解答： 解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
所以函数f（x）关于原点对称，
又g（x）=f（x+1）+5，
故g（x）的图象关于点（-1，5）对称，
令h（x）=g（x）-x²-4，
∴h′（x）=g′（x）-2x，
∵对?x∈R，g′（x）＞2x，
∴h（x）在R上是增函数，
又h（-1）=g（-1）-（-1）²-4=0，
∴g（x）＜x²+4的解集是（-∞，-1）．
故选A．

点评：本题考查抽象函数的图象间的平移，奇函数的性质，导数的应用，属于中档题．