题目内容
设a＞1，定义f（n）=
+
+…+
，如果对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7logab＞7+7loga+1b恒成立，则实数b的取值范围是（ ）
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 2n |
A、(2，
| ||
| B、（0，1） | ||
| C、（0，4） | ||
| D、（1，+∞） |
考点：指、对数不等式的解法
专题：函数的性质及应用
分析：由不等式12f（n）+7logab＞7loga+1b+7恒成立这条件转化化为“f（n）＞t”这个形式，要求t，先求f（n）的最小值，最后就是利用a与b的关系求出b的范围．
解答：
解：由f（n）=
+
+…+
，知，f（n+1）=
+
+…+
，
∴f（n+1）-f（n）=
+
-
=
＞0，
∴f（n）是递增数列．
∴当n≥2时，f（n）的最小值是f（2）=
，
要使对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7logab＞7loga+1b+7恒成立，
则满足12•
+7logab＞7loga+1b+7，
即logab＞loga+1b，
即
＞
，
∴lgb
＞0，
∵a＞1，∴
＞0，
∴lgb＞0，即b＞1．
故选D．
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| n+3 |
| 1 |
| 2(n+1) |
∴f（n+1）-f（n）=
| 1 |
| 2n+2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| (2n+1)(2n+2) |
∴f（n）是递增数列．
∴当n≥2时，f（n）的最小值是f（2）=
| 7 |
| 12 |
要使对任意的n∈N*且n≥2，不等式12f（n）+7logab＞7loga+1b+7恒成立，
则满足12•
| 7 |
| 12 |
即logab＞loga+1b，
即
| lgb |
| lga |
| lgb |
| lg(a+1) |
∴lgb
| lg(a+1)-lga |
| lgalg(a+1) |
∵a＞1，∴
| lg(a+1)-lga |
| lgalg(a+1) |
∴lgb＞0，即b＞1．
故选D．
点评：本题考查了数列的单调性，及不等式恒成立问题的常规解法，一般都是转化为求函数的最值来解决，属于难题．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目
函数y=x2+x（-1≤x≤3）的值域是（ ）
| A、[0，12] | ||
B、[
| ||
C、[
| ||
D、[
|
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，其中a=4，b=3，∠C=60°，则△ABC的面积为（ ）
| A、3 | ||
B、3
| ||
| C、6 | ||
D、6
|
若函数f（x）=
，则f（2）+f（
）= ，记f（1）+f（2）+f（4）+f（8）+…+f（1024）=m，f（
）+f（
）+f（
）+…+f（
）=n，则m+n= ．
| x+3 |
| x+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 1024 |
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若g（x）=f（x+1）+5，g（x）=f（x+1）+5，g′（x）为g（x）的导函数，对?x∈R，总有g′（x）＞2x，则g（x）＜x2+4的解集为（ ）
| A、（-∞，-1） |
| B、（-∞，1） |
| C、R |
| D、（-1，+∞） |