题目内容
设实数x＞0，n∈N*，e是自然对数的底数．
（1）证明：（1-x）ex＜1＜ex-x；
（2）若数列{an}满足：an＞0且ean+1=ean-1，证明：{an}在定义域内是递减数列．
（1）证明：（1-x）ex＜1＜ex-x；
（2）若数列{an}满足：an＞0且ean+1=ean-1，证明：{an}在定义域内是递减数列．
考点：利用导数研究函数的单调性,数列的应用
专题：函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（1）令f（x）=1-（1-x）ex，g（x）=ex-x-1，对二函数分别利用导数法判断其单调性，即可证得：（1-x）ex＜1＜ex-x；
（2）利用等差数列的概念可知数列{ean}是公差为-1的等差数列，可求得其通项公式，利用复合函数的单调性即可证得{an}在定义域内是递减数列．
（2）利用等差数列的概念可知数列{ean}是公差为-1的等差数列，可求得其通项公式，利用复合函数的单调性即可证得{an}在定义域内是递减数列．
解答：
证明：（1）令f（x）=1-（1-x）ex，g（x）=ex-x-1，
①f（x）=1+（x-1）ex，
f′（x）=ex+（x-1）ex=xex，
因为x＞0，所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上严格单调递增，
又f（0）=1-1=0，
所以当x＞0时，f（x）＞0，
即（1-x）ex＜1．
②g′（x）=ex-1，
因为x＞0时，ex＞1，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上严格单调递增，
又g（0）=1-1=0，
所以当x＞0时，g（x）＞0，
即1＜ex-x，
综上所述，（1-x）ex＜1＜ex-x．
（2）因为ean+1=ean-1，所以数列{ean}是公差为-1的等差数列，又an＞0，
因为ean=ea1+（n-1）×（-1）=1+ea1-n＞0，
所以an=ln（1+ea1-n），由于y=lnx为增函数，y=1+ea1-n为减函数，
由复合函数的单调性得，an=ln（1+ea1-n）为定义域上是减函数．
①f（x）=1+（x-1）ex，
f′（x）=ex+（x-1）ex=xex，
因为x＞0，所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上严格单调递增，
又f（0）=1-1=0，
所以当x＞0时，f（x）＞0，
即（1-x）ex＜1．
②g′（x）=ex-1，
因为x＞0时，ex＞1，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上严格单调递增，
又g（0）=1-1=0，
所以当x＞0时，g（x）＞0，
即1＜ex-x，
综上所述，（1-x）ex＜1＜ex-x．
（2）因为ean+1=ean-1，所以数列{ean}是公差为-1的等差数列，又an＞0，
因为ean=ea1+（n-1）×（-1）=1+ea1-n＞0，
所以an=ln（1+ea1-n），由于y=lnx为增函数，y=1+ea1-n为减函数，
由复合函数的单调性得，an=ln（1+ea1-n）为定义域上是减函数．
点评：本题考查导数判断函数的单调性及复合函数单调性的证明，着重考查构造函数的思想与推理证明能力，考查转化思想．
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