Question

13．已知直线l：3x-4y+5=0．
（1）求与l平行且距离为3的直线方程；
（2）一光线从原点出发，经直线l反射后经过点（2，0），求反射光线所在直线方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设要求直线的方程为3x-4y+c=0，由直线间的距离公式可得d=$\frac{|c-5|}{5}$=3，解可得c的值，代入3x-4y+c=0中即可得答案；
（2）由已知入射光线上一点A和反射光线上一点B，我们要想求反射光线所在直线的方程，可求出A点关于直线L的对称点A′的坐标．再由A′，B点的坐标，代入两点式即可求解．

解答 解：（1）根据题意，设要求直线的方程为3x-4y+c=0，
则有d=$\frac{|c-5|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{|c-5|}{5}$=3，
解可得c=20或-10；
即要求直线的方程为3x-4y+20=0或要求直线的方程为3x-4y-10=0．
（2）当直线l为：3x-4y+20=0时：
设点O（0，0）关于由直线l：3x-4y+20=0的对称点为A′（x₀，y₀），
则：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{3x}_{0}}{2}-\frac{{4y}_{0}}{2}+20=0}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{120}{25}}\\{{y}_{0}=\frac{160}{25}}\end{array}\right.$，
∵A′点在反射光线所在的直线上，且反射光线经过点B（2，0）
∴由两点式得：$\frac{y-0}{\frac{160}{25}-0}=\frac{x-2}{-\frac{120}{25}-2}$，即16x+17y-32=0；
同理可求出直线l为：3x-4y-10=0时：
对应的反射光线所在直线方程为：8x+y-16=0．

点评 求直线L1关于直线L对称的直线L2的方程，关键是要找到L2上的两个点，如果已知L1与L的方程，则两直线的交点也在L2上，然后在L1上任取一点，找出该点在L2上的对称点即可，如果已知L1上一点和L2上一点（如本题）可求出L1上的点关于直线L的对称点坐标．由直线上的两点，代入两点式即可求解．