Question

设函数f（x）=sinxcos（x+

π

3

）+

3

4

，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若斜率为

1

2

的直线与f（x）相切，求其切点坐标．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数公式化简f（x）为最简形式，然后求最值；
（Ⅱ）利用导数的几何意义对f（x）求导，导数值为

1

2

，得到自变量x，然后求函数值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，f（x）=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

2

•

1-cos2x

2

+

3

4

=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴f（x）的最大值为

1

2

，最小正周期为π．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=cos（2x+

π

3

），
令cos（2x+

π

3

）=

1

2

，则2x+

π

3

=2kπ±

π

3

（k∈Z），即x=kπ或x=kπ-

π

3

（k∈Z），
故其切点坐标为（kπ，

3

4

）或（kπ-

π

3

，-

3

4

）（k∈Z）．（12分）

点评：本题考查了三角函数的化简、性质以及与导数的几何意义相结合的问题，属于常考查的题目．