Question

函数f（x）=Asin（ax+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

），图象的一个最高点为（

π

3

，2），图象两条相邻的对称轴之间的距离为

π

2

．
（1）求函数的解析式；
（2）设α∈[0，π]，f（

α

2

）=1，求α的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：解：（1）依题意得A=2，T=π，ω=2，又图象的一个最高点为（

π

3

，2），由

2π

3

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），可求得：φ=2kπ-

π

6

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，可求得φ=-

π

6

，于是可得其解析式；
（2）α∈[0，π]⇒（α-

π

6

）∈[-

π

6

，

5π

6

]；依题意，可得sin（α-

π

6

）=

1

2

，于是可求得α的值．

解答： 解：（1）依题意得A=2，T=π，ω=2，又图象的一个最高点为（

π

3

，2），
∴2sin（

2π

3

+φ）=2，

2π

3

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：φ=2kπ-

π

6

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）；
（2）∵α∈[0，π]，∴（α-

π

6

）∈[-

π

6

，

5π

6

]；
∵f（

α

2

）=2sin（α-

π

6

）=1，
∴sin（α-

π

6

）=

1

2

，
∴α-

π

6

=

π

6

或

5π

6

，解得α=

π

3

或α=π．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与闭区间上的最值，考查运算求解能力，属于中档题．