Question

已知点P（-1，-1）在曲线y=

x

x+a

上，曲线在点P处的切线斜率为k，则

∫

1 0

(

1

x+1

+kx)dx=

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的综合应用

分析：根据条件求出a，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后根据积分公式即可得到结论．

解答： 解：∵点P（-1，-1）在曲线y=

x

x+a

上，
∴

-1

a-1

=-1，即a-1=1，
则a=2，即曲线y=

x

x+a

=

x

x+2

，
则函数的导数为f′（x）=

2

(x+2)2

，
则曲线在点P处的切线斜率为k=

2

(-1+2)2

=2，
即k=2，
则

∫

1 0

(

1

x+1

+kx)dx═

∫

1 0

(

1

x+1

+2x)dx=（ln（x+1）+x²）|

1 0

=1+ln2，
故答案为：1+ln2

点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数积分的计算，要求熟练掌握导数的应用．