Question

已知函数f（x）=ax-

2a

x

-6lnx在x=2处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）g（x）=（x-3）e^x-m（e为自然对数的底数），若存在x₁∈（0，2），对任意x₂∈[2，3]，总有f（x₁）-g（x₂）≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）极值点处满足两条性质：①是函数值，因此坐标满足解析式；②导数为零．
（2）易知，这是两个函数的最值比较问题，只需f（x₁）_min≥f（x₂）_max，然后再分别求出该函数在（0，2）上的最小值，[2，3]上的最大值即可．最后解关于m的不等式（组）即可．

解答： 解：
（1）x∈（0，+∞）．f′(x)=a+

2a

x2

-

6

x

=

ax2-6x+2a

x2

，
∵函数f（x）=ax-

2a

x

-6lnx在x=2处取得极值
∴f'（2）=0，即 

a×22-6×2+2a

4

=0，解得a=2
所以a=2．
（2）由（1）知，f（x）=2x-

4

x

-6lnx，f′(x)=

2(x-1)(x-2)

x2

当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数；
当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上减函数；
所以f（x）在（0，2）上的最大值为f（1）=-2．
因为g（x）=（x-3）e^x-m，所以g′（x）=（x-2）e^x≥0在[2，3]上恒成立
所以g（x）在[2，3]上单调递增，其值域为[-e²-m，-m]
若存在x₁∈（0，2），对任意x₂∈[2，3]，总有f（x₁）-g（x₂）≥0成立
即f（x）_max≥g（x）_max，也就是-2≥-m，
即m≥2．

点评：这是一道典型的利用导数研究单调性，确定极值，求最值的问题，此类题要充分利用数形结合思想辅助分析、解决问题；而题目最终是将两个函数的最值进行比较作为落脚点，考查了学生分析问题的能力，需要认真辨析才行；最后强调一点定义域优先的原则．